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David Snyder, quien coescribió "Nudos como procesos: un nuevo tipo de invariante", junto con Greg Meredith, se une a la llamada junto con Isaac DeFrain y Christian Williams.
Greg: Gracias de nuevo, Derek, por ser el anfitrión, y gracias a Christian e Isaac por unirse. Hoy tenemos un invitado especial, David Snyder. Gracias, David, por tomarte un tiempo de tu agenda para hablar con nosotros.
David: No hay problema.
Greg: Isaac tenía una solicitud al final del último podcast de que hablamos sobre "Nudos como procesos". Dibujaré el resultado general al que apuntamos, y luego podemos hablar sobre algunas de las sutilezas, como cómo resolver el enfoque y lo que eso hizo en términos de cómo trabajamos en la prueba. ¿Eso suena como un plan de juego para todos?
David: Suena bien para mí.
Greg: Como mencioné la última vez, las motivaciones que me interesaban eran llevar la bisimulación a las matemáticas convencionales. La bisimulación es una técnica de prueba clave. Esto fue inspirado por personas como Hurley y personas como esas que están llevando las técnicas de topología algebraica a la teoría de la concurrencia para tratar de usar algunas de esas técnicas de prueba. Pensé: "La teoría de la concurrencia tiene bisimulación, ustedes la necesitan".
David: Correcto.
Greg: Esa fue la idea. Entonces pensé: "Hagamos algo simple primero. Algo que ya se sabe ”, porque en los años sesenta se sabía que la isotropía ambiental es decidible. No debería ser demasiado sorprendente que pueda obtener un resultado con la bisimulación. El pensamiento es: ¿Da codificaciones de nudos como procesos?
Entonces el teorema es: dos nudos son isotópicos ambientales, que es la noción de equivalentes y nudos, si sus codificaciones son procesos. Ese es el resultado al que estábamos apuntando. El truco de cómo hacer esto: Resulta que esa isotopía ambiental es equivalente a poder transformar un diagrama de nudo en un nudo.
Digamos que tenemos los nudos K1 y K2. Si tomo un diagrama de nudos de K1, y si puedo usar los movimientos de Reide-meister (que podrían considerarse como transformaciones gráficas), que transformaron ese diagrama de nudos de maneras muy específicas. Si puede construir una secuencia de movimientos Reide-meister a partir de un diagrama de K1 y un diagrama de K2, entonces los nudos son isotópicos ambientales. ¿Tiene sentido?
David: Tiene sentido para mí.
Isaac: Una pregunta que tengo: ¿probaron la capacidad de decisión de la isotopía ambiental para … probaron que usar los movimientos Reide-meister …
Greg: Sí, la capacidad de decisión se realizó a través de los movimientos Reide-meister. Básicamente, los movimientos de Reide-meister son el nombre del juego, al menos en relación con la computabilidad.
David: Originalmente, fue este tipo llamado Hopkin en 1957; fue justo antes de que yo naciera. Utilizó una topología tridimensional, pero ahora también hay muchas otras pruebas. Hay algunas otras pruebas que no lo usan.
cristiano: ¿Los movimientos de Reide-meister corresponden a ciertas coincidencias en el cálculo?
Greg: No exactamente. No están en el nivel de congruencia para el cálculo, pero terminan siendo transformados en procesos que preservan la propiedad de una manera particular.
La otra pieza del rompecabezas que es necesaria: todo lo que queremos hacer es codificar un diagrama de nudos en un proceso. Eso es mucho más fácil que codificar un nudo en un proceso porque un diagrama de nudos es esencialmente un gráfico cuadrivalente.
David: Puedes tener muchos diagramas de nudos, pero el cuadrivalente es el que todos esperan.
cristiano: ¿Qué es un gráfico cuadrivalente?
David: Cada nodo tiene cuatro aristas. Básicamente, proyectas un nudo en un avión. Hay muchas formas de hacerlo. Pero para la mayoría de ellos, lo que llaman posición general, van a tener nodos que solo tienen cuatro bordes.
Isaac: Cuatro es una causa importante que representa un cruce de dos piezas del nudo.
Greg: Eso es exactamente correcto.
David: Por lo general, desde lados opuestos, por así decirlo, generalmente se separan entre sí para que uno se rompa. Para que pueda ver cuál pasa.
Isaac: Uno se cae, uno se va.
Greg: Si, exacto. Es realmente interesante. Si los mira a la luz de las redes de prueba, son sospechosamente similares a las redes de prueba en el sentido de que está visitando estas cosas en ambas polaridades. Así que la condición de viaje largo de Gerard en redes de prueba. Hay una versión de eso que vale para los diagramas de nudos, que tampoco debería ser demasiado sorprendente dada la capacidad de decisión. Eso es una digresión.
En general, hay una manera de convertir cada gráfico, no solo los gráficos cuadrivalentes. Hay una manera de convertir cada gráfico en un proceso. Hay muchas maneras diferentes de hacerlo también. Cardelli, Ghelli y Gardner dieron una codificación. Nuestra codificación es un poco diferente. Puede usar estas codificaciones diferentes para solucionar este problema.
Estaba interesado en una codificación similar a un circuito que tenía algunas otras intuiciones detrás. Si observa el diagrama de un cruce, puede pensar en esto como un circuito. Imagine que tiene cuatro puntos terminales en este circuito. Tienes un rectángulo, y hay cuatro puntos terminales en el rectángulo donde podríamos adjuntar la señal.
Digamos por diversión, etiquetaremos las filas X1 y X2. La parte superior izquierda es X1 y la parte superior derecha es X2. La parte inferior izquierda es Y1 y la parte inferior derecha es Y2. Puedes imaginar que estos podrían convertirse en canales y procesos. Queremos un flujo de señal modelo desde estos terminales de un terminal a otro.
Económicamente podríamos conectar el terminal X2 al terminal Y1; entonces podemos conectar el terminal X1 al terminal Y2. ¿Tiene sentido?
Isaac: Sí, entonces tenemos uno de estos cruces.
Greg: Para que sea un cruce, lo que queremos hacer es decir que la señal que pasa por uno de ellos, las diagonales siempre es libre de fluir y el otro tiene que esperar. de modo que si hay señal pasando a través de ese cable, debe estar sincronizado y esperar a que fluya la señal. Es como un semáforo. ¿Tiene sentido?
Isaac: Si. Entonces, esto es para distinguir entre el cruce y el cruce inferior.
Greg: Exactamente correcto. El cruce siempre llega a irse. Si tiene alguna señal llegando a X2, entonces no hay sincronización adicional para pasar a Y1. Y funciona bidireccionalmente. Si tiene señal llegando a Y1, no se requiere sincronización adicional para que la señal salga en X2.
cristiano: ¿Son los nodos los procesos y los cables los canales?
Greg: Vas a pensarlo un poco diferente. Vas a pensar en un proceso que represente el circuito que acabamos de dibujar. Puede descomponer un diagrama de nudos en un grupo de estos circuitos que se han conectado todos juntos. ¿Tiene sentido?
Isaac: Sí, definitivamente.
Greg: Sin echar un vistazo al periódico, animaría a la gente a escribir un cálculo de Pi o un proceso de cálculo de Rho que haga eso, que modele ese circuito que acabamos de describir. Sabes que realmente entiendes a Pi o Rho si puedes escribir ese circuito. Utilicé códigos Dowker-Thistlethwaite para proporcionar una representación algorítmica para conectar todos los cruces correctamente. Si solo te doy su cruce final, eso no es suficiente. Necesita saber cómo están conectados los cruces porque hay muchísimos nueve nudos de cruce.
Para las personas interesadas, hay un hermoso sitio llamado KnotPlot, que ofrece una pequeña zoología de todos los cruces. El truco es que tienes que descubrir cómo conectar los cruces. Como dije, hay muchos nudos para un número determinado de cruces. A medida que aumenta el número de cruces, hay cada vez más nudos que tienen esos cruces.
Hay diferentes codificaciones para nudos. Utilizo los códigos Dowker-Thistlethwaite para darme una especificación por la que podría caminar y luego calcular los cables. Esa es otra pieza del rompecabezas que necesitas. Recomiendo encarecidamente a las personas que consideren este tema de escribir uno de estos circuitos como un proceso y luego escribir algo de codificación de cómo conectar los cruces.
Una vez que tuve eso, la prueba parecía relativamente simple. Entonces David dijo, pero ¿qué pasa con … y luego mencionó este fenómeno que nunca había visto antes. David, ¿quieres hablar de las parejas de Perko?
David: Por supuesto. Estas cosas son interesantes de ver. Originalmente, ves toda la historia. Vuelves a un P.G. Tate Lord Kelvin lo inspiró a mirar nudos. Kelvin pensó que los nudos estaban en el núcleo de las unidades químicas. No creo que tengan la teoría atómica todavía. De todos modos, Tate hizo esta gran mesa de nudos. Pasó a mano e hizo todos estos cuatro gráficos de venas y jugó con cruces cambiantes, haciéndolos cruces por encima o por debajo, mirando todas las cosas posibles.
Luego, un alumno suyo llamado Little prueba el Teorema de Little, que resulta ser falso, pero dijo que si tienes un nudo, donde algo llamado paseo, recorres el diagrama en una dirección determinada, y siempre que llegas a un cruzar a la derecha, como cuando cruzas un cruce y cruzar a la izquierda, es positivo. Entonces, si el final del cruce va a su derecha, entonces eso es negativo. Luego, cada vez que pase por un cruce excesivo, cuente todos los cruces positivos como más y los cruces negativos como negativos y sume eso, obtendrá lo que se llama el nudo. Little afirma que había demostrado que en 1899 esta es una variante de nudo. El recorrido mínimo que puede obtener de cualquiera de los diagramas para nudos, y eso será único. Eso es lo que termina siendo canalizado.
De todos modos, existe esta cosa llamada la pareja Perko. No fue descubierto hasta principios de la década de 1970 por Kenneth Perko, quien era estudiante de Princeton. Vincent tiene una tradición muy fuerte en topología geométrica y teoría de nudos. Había trabajado un poco con Milner, pero alguien le dijo que revisara esta tabla y entendiera cómo Conway había calculado estos invariantes por nudos. Así que pasó y encontró nudos que tienen 10 cruces en una presentación mínima de que en realidad había un par duplicado que había pasado desapercibido durante básicamente cien años. Entonces se llama los pares de Perko.
Había un chico en Princeton antes de Alexander, en los años veinte y treinta, era un gigante de la topología geométrica. Calculó estas cosas llamadas polinomios de Alexander. Era una idea brillante. Calcula sus polinomios y si los polinomios son diferentes de lo que sabe, tiene dos nudos diferentes.
Pero es posible que dos nudos diferentes tengan el mismo polinomio. No es una invariante total. No los identifica. Va en un sentido, pero no en el otro. Básicamente, Conway, cuando era estudiante de secundaria, revisó la mesa de Tate con los 11 nudos cruzados y calculó el polinomio Alexander y encontró duplicados. Y se deshizo de esos duplicados.
Aparentemente, no miró los 10 nudos cruzados. Luego, la mesa de Conway llegó a este libro de texto de este tipo llamado Dale Rolfsen. Fue una biblia de la teoría del nudo durante mucho tiempo. De hecho, tengo una copia original de 1976 y ese par llegó a esta tabla. Cuando Perko descubrió esto, ya había llegado a este libro. Así que fue un gran problema que hubieran encontrado otro par. Eso solo muestra cuán duros son los nudos, que tardarán tanto en darse cuenta. Además, tenían que hacer todo esto a mano, así que no fue tan emocionante. Al menos con suerte con esto, puede automatizarlo. Tienen programas ahora también. No sé si realmente he contado los 18 cruces todavía. Sé con certeza que han tenido hasta 17. Es enorme y se vuelve realmente complicado muy rápidamente. Creo que hay un algoritmo exponencial para numerar estas cosas.
cristiano: ¿Todavía no tenemos un método sistemático de clasificación?
David: Realmente no.
Greg: Es un punto realmente interesante que planteas, Christian, porque una de las cosas que quería proporcionar era un cambio en la perspectiva de las variantes. Ya sea que esté hablando del polinomio Alexander o el polinomio Jones, hay algo interesante sobre los polinomios. Los polinomios tienen una noción de dinámica incorporada en ellos. Pero esa no es la forma en que se utiliza el polinomio como probabilidades y orientaciones. Estaba realmente interesado en los invariantes relacionados con el comportamiento. El comportamiento del dispositivo algebraico es lo que es invariante del nudo. En cierto sentido, está pasando de esta visión del nudo como algo estático, simplemente colgando en el espacio, a algo que es dinámico, por lo que hay una señal que fluye alrededor de los cables. Es una forma muy diferente de ver los nudos. Lo invariante se convierte en un tipo diferente de invariante.
Isaac: Es curioso porque de todos modos parece más coherente con la forma de ver un nudo porque todo lo que estoy viendo es como: comenzar en algún punto del nudo y comenzar a atravesarlo en una dirección particular. Esa es una señal.
Greg: Eso es exactamente correcto. Como resultado de este cambio en la forma en que pensamos acerca de la invariante, esta otra cosa viene de forma gratuita: la aplicación de la lógica espacial y la lógica de Hennessy-Milner. Porque clasifican los procesos.
Isaac: Correcto.
Greg: Entonces, de hecho, tienes estos encantadores teoremas de que los procesos son bisimilares si y solo si satisfacen las mismas fórmulas, y si también tienes un teorema que dice que dos nudos son isotópicos ambientales, si y solo si son bisimilares, entonces obtenemos las lógicas de Hennessy-Milner que clasifican los nudos. Es un sistema de clasificación sistemática.
David: Hay algún tipo de clasificación; básicamente, cada nudo está determinado por su cumplido también en el espacio tridimensional, pero simplemente lo cambia a otro tipo de problema difícil.
Greg: Empuje la burbuja a una parte diferente de la alfombra.
cristiano: ¿Cada polinomio determinaría una cierta clase de procesos?
Greg: Esa es una dirección. Pero nuevamente, como dije, estoy menos interesado en esa dirección a través de la aplicación de los invariantes de la topología algebraica, o la teoría de nudos en particular, a la teoría de procesos. Estoy más interesado en los procesos y las fórmulas de Hennessy-Milner aplicadas a la teoría de nudos.
cristiano: Me preguntaba qué querías decir con los polinomios que tienen que ver con la dinámica.
Greg: Solo digo que, inherentemente, existe una noción de dinámica que proviene de un polinomio. Podemos calcular: conecto un valor para la variable y obtengo un número. Es un programa, pero ese aspecto programático de la invariante se deja de lado. Solo miramos la estructura del polinomio.
Desde Lambda, algo nos ha estado mirando a la cara y no vemos lo importante que es. Y esa es la relación estructura-función. Si cambias las ciencias por un minuto, cuando te mueves a un lugar donde telos y propósito es el nombre del juego, entonces la relación estructura-función salta en marcado contraste.
Si estás tratando de entender un organismo, algo tan simple como un virus o una bacteria, la relación estructura-función es esencial. Comprender cómo una estructura da lugar a un comportamiento es parte integrante de la biología. No tiene una buena cuenta biológica hasta que tenga algún tipo de manejo de ese tipo de preguntas.
En un contexto matemático, mucho de eso se pierde. La relación estructura-función del polinomio no nos da el mismo tipo de información sobre el nudo. Mientras que el tipo de nudo invariante que estamos calculando con el proceso, en primer lugar con Lambda y Pi y todos los cálculos computacionales, la relación estructura-funcionalidad está ahí.
No hay forma de evitarlo. Lo que ves, es lo que tienes. Esa es una de las cosas realmente interesantes de este enfoque de la computación. No hay ningún estado adicional oculto que tenga que tener en mente para comprender cómo se comporta la cosa. Todo es instrucción. Esa es la esencia de la bisimulación.
La bisimulación captura el contenido de la relación estructura-función, no solo en el cálculo Pi, sino en todos estos cálculos computacionales que tienen estas propiedades. Ahora, lo que estamos diciendo es que esa relación estructura-función puede producir información interesante sobre estructuras como nudos fuera de las estructuras físicas, o al menos físicamente realizables.
Esa fue la otra cosa que fue realmente importante sobre este trabajo: tratar de decir que el cálculo de Pi ya no es solo para computación. Podemos usarlo para razonar sobre el mundo físico y la dinámica física, que fue otro punto subyacente de hacer el trabajo que hice con David. No se trata solo de computación. Dicho de otra manera, si quieres que vaya después del programa bit a bit de Wheeler, aquí hay un pequeño paso en esa dirección. ¿Cómo llego de la computación a un mundo físico manifiesto? Aquí hay un pequeño paso que hará eso.
Isaac: Estoy de acuerdo en que esta relación estructura-función es algo importante. Esta bisimulación está capturando eso de una manera realmente esencial. Veo la importancia de tratar de llevar esa noción a diferentes áreas de las matemáticas.
Greg: Si. En particular, si los físicos realmente se toman en serio el intento de lograr que un universo físico se levante de la computación, entonces finalmente tendrán que lidiar exactamente con eso. Bisimulation dice algo realmente esencial sobre eso. Ejercer este tipo de ideas en estos problemas de juguetes muy limitados como la isotopía ambiental, que no es tanto un juguete, la historia de David solo nos muestra lo sutil que puede ser realmente. Pero es mucho más simple que tratar de modelar lo que es perseguir a un perro por un parque.
David: Correcto. Es sorprendente lo difícil que se vuelve tan rápido.
Greg: Eso es precisamente correcto. Cualquiera que haya tenido dos o tres perros reunidos en un parque, y todos están atados, saben exactamente cómo se pueden enredar las cosas.
David: Sin lugar a duda. Especialmente pastores australianos. Tienen mucha energía.
Greg: Ciertamente lo hacen.
David: He estado pensando en ideas similares desde un ángulo ligeramente diferente. No sé si lo tengo tan bien formado como tú, porque obviamente pensaste en estas cosas mucho más profundamente durante mucho más tiempo, pero solo cómo algunos matemáticos piensan que la función es como reglas versus la gráfica de una función. Uno es más dinámico que el otro. Hay una tendencia en las matemáticas modernas a centrarse más en esa función de un gráfico, y se pierde algo al hacerlo. Obviamente, hay mucho poder en eso también.
Greg: Si estoy de acuerdo.
David: Creo que tienes algo aquí. Tenemos que seguir presionando en este caso.
Greg: Estoy de acuerdo. Quiero volver a visitar la codificación, pero realmente uso el cálculo Rho en lugar del cálculo Pi y ver si algo cambia. Porque el cálculo de la raíz cuadrada sí cambió.
cristiano: En el contexto de la bisimulación, ¿qué es la estructura y qué es la función?
Greg: La estructura es la estructura del término y la función es la evolución del término. Es muy difícil lograr que los matemáticos que están fuera del ámbito computacional comprendan la recompensa. Puedes usar las lógicas de Hennessy-Milner para ir y hacer la clasificación. Lo que es verdad para los matemáticos es que hay otra línea de trabajo que se debe hacer para hacer un montón de clasificaciones, como clasificar varias familias de nudos con estas fórmulas, que es una línea de trabajo adicional.
Ya es interesante tener este teorema genial, y luego señalar que cuando se unen los dos teoremas, el de la bisimulación correspondiente a la caracterización lógica y la bisimulación correspondiente al cálculo. Cuando juntas esos dos, obtienes este esquema de clasificación. Pero para ser recibido por la audiencia matemática convencional, debe dar este paso adicional, que consiste en clasificar diferentes familias de nudos utilizando la fórmula de Hennessy-Milner. Nunca tuve el tiempo para hacerlo bien. Es mucho trabajo.
David: Es. Es lo mismo aqui. Tengo otros proyectos en los que he estado trabajando, pero estoy emocionado de volver a ellos. Hemos tenido la intención de hacerlo. Siempre ha estado ahí. También estoy entusiasmado con el cálculo Rho. Miré el papel que habías escrito hace mucho tiempo.
Greg: 2005.
David: Tenía mucha información de fondo que necesitaba asimilar para comprender realmente lo que estaba sucediendo allí. Lo volví a leer la semana pasada después de que esa ruta procesa la publicación que tenías. Estoy muy emocionado ahora.
Greg: Oh eso es asombroso. Eso es bueno escuchar. Nos gustaría que más matemáticos convencionales tuvieran esa respuesta al trabajo de cálculo Rho.
David: Correcto. Bueno, alguien será como, ¿cómo me va a beneficiar? Siempre existe ese aspecto también. Están tan invertidos en sus propios programas de investigación. Cualquier cosa que los aleje de eso o los amenace, puede que no reaccionen bien. Pero bueno, no puedes evitar que la verdad salga a la luz.
Greg: Eso es exactamente correcto. La ciencia y las matemáticas avanzan a un ritmo particular. Con suerte, ese ritmo se rige principalmente por el proceso de búsqueda de la verdad, que en el caso de la ciencia es el método científico, y en el caso de las matemáticas es publicar y revisar pruebas. Se ralentiza bastante porque la gente tiene gustos. La gente quiere ver las pruebas que se encuentran en áreas que les interesan o que son populares. El proceso no procede exactamente de manera ideal.
Pero como Christian e Isaac y yo hablamos, es un tipo diferente de modelo de gobierno. Cuando una comunidad está interesada en la verdad, el tipo de gobierno que se obtiene es muy diferente. Tiene eso a su favor.
David: Probablemente habrá un cambio próximo, como en la Teoría del Tipo de Homotopía. Veo más acerca de las ciencias de la computación y las matemáticas cada vez más cerca como lo fueron al principio de la ciencia de la computación.
Greg: Creo que tienes razón. Estoy encantado de que la Teoría del tipo de homotopía esté recibiendo el tipo de atención y compromiso que es. Para ser sincero, el programa LADL propone una noción de tipo completamente diferente. En algún momento, realmente quiero comparar y contrastar nociones de tipo de Homotopy Type Theory.
David: Eso puede ser interesante.
Greg: Creo que la teoría de los tipos de homotopía todavía está vinculada o capturada por una noción de función.
David: Estoy de acuerdo con eso.
Greg: La función no es el único juego en la ciudad. De hecho, si observa cuidadosamente la mayoría de los fenómenos computacionales, está muy lejos de lo que sucede. Tenemos muchas intuiciones sobre las funciones, pero la naturaleza tiene otras ideas sobre cómo escalar.
David: Exactamente.
cristiano: Dices que quieres expandir esta idea de nudo al cálculo Rho. ¿La reflexión agrega otro aspecto o dimensión a esa interpretación?
Greg: Una de las cosas que siempre me interesó fue una especie de idea de nudo recursivo, la torre de nudos, donde dentro del cruce tienes un enredo. Uno de los puertos que entran, podría deshilachar ese cable en un montón de cables diferentes. Todos esos cables podrían estar entrelazados o enredados. Luego, en cualquiera de los cruces de esos cables dentro de este cruce, podría hacer lo mismo nuevamente.
David: ¿Alguna vez has visto la imagen de Alexander HORNS AQUÍ?
Greg: Eso es exactamente correcto. Se convierte en una construcción recursiva o fractal. De la misma manera que en la primavera hablamos sobre esta torre de cómputos, puede aplicar la misma idea a los nudos. En lugar de detenerse en un cruce, puede virtualizar qué es el cruce.
cristiano: ¿Podrías explicarlo un poco más?
Greg: Hay una forma en que cada nudo corresponde a una trenza. La trenza tiene N puntos en la parte superior y N puntos en la parte inferior. Se podría pensar en cada cruce en un nudo como una trenza. De hecho, puede generalizarlo desde una trenza hasta un enredo donde, cuando entra la señal, no permanece como un solo cable, se enmarca. Dentro de un cruce particular, podría tener una complejidad arbitraria de una maraña. ¿Tiene sentido? ¿Puedes visualizar eso?
cristiano: Si.
Greg: Y luego dentro de ese enredo, tienes un montón de cruces. Esos también podrían ser enredos.
David: Si te gustan los enredos de Conway en Google, habrá algunas explicaciones bastante decentes. Algunas buenas fotos. Una imagen vale mas que mil palabras.
Greg: Con el cálculo Rho, porque tienes reflejo, puedes modelar eso. Independientemente de los canales que esté utilizando para las señales entrantes, podrían resultar ser o enredar en el nivel de cruce. El reflejo del cálculo Rho te da una ventaja o un ángulo para que expreses nudos recursivos. Esas bestias son más satisfactorias porque no tengo que tener átomos. En cierto sentido, el cruce es como un átomo. Entonces herviré los átomos si puedo.
David: Correcto.
Greg: La intuición se remonta a Greg Chaney, quien sin duda fue matemático según mi propio corazón. Señala que donde sea que tenga átomos en una teoría, ya sean axiomas o elementos en una teoría de conjuntos, donde sea que tenga un conjunto inexplicable de dispositivos con los que empiece como base, eso representa el riesgo de su teoría. Así que siempre trato de minimizar el riesgo de la teoría. Eso es realmente todo lo que hace el programa Rho. El programa reflexivo consiste en minimizar ese riesgo para que pueda saber exactamente dónde está el terreno. Como en el caso de Rho, el suelo es cero. Ese es tu único riesgo. La idea de cero no es un gran riesgo. Es un poco arriesgado, pero no tanto como un conjunto infinito de nombres que tiene propiedades esencialmente irrealizables.
